ECC加解密

ECC理论知识

基础

数学定义

密码学中的椭圆曲线，并非直观的 “椭圆形”，而是满足魏尔斯特拉斯方程的平面曲线，核心定义为：

在实数域上：$y^2=x^3+ax+b$

约束条件（保证曲线无奇异点、运算合法）：$4a^3+27b^2\not=0$

在有限域 GF (p) 上（密码学实际使用）：
$y^2\equiv x^3+ax+b\pmod{p}$
p：大素数（决定曲线规模，如 256 位、384 位）
a,b：曲线参数（公开固定）
所有点(x,y)的坐标均为0∼p−1的整数，构成有限离散点集

无穷远点O:作为加法群的 “零元”

通俗点来说，可以把椭圆曲线想象成一张离散的 “坐标棋盘”，所有合法点都落在这张棋盘上；ECC 的所有加密、解密、签名操作，本质都是棋盘上点的数学运算，而非传统的大数乘除。

核心运算

点加法 (P + Q)

给定曲线上两个不同点 $P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$，求和 $R(x_3, y_3) = P + Q$：

几何规则：

• 过 $P$、$Q$ 作直线，与曲线交于第三个点 $R’$
• 将 $R’$ 沿 x 轴镜像翻转（$y$ 取反），得到最终结果 $R$

代数公式：

• 计算斜率 $\lambda$： $$\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \pmod{p}$$
• 计算新坐标： $$x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2 \pmod{p}$$ $$y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1 \pmod{p}$$

点倍增（2P，P=Q）

当 $P = Q$ 时，运算变为点倍增（自身相加）：

1. 几何规则：

   • 过 $P$ 作曲线的切线，与曲线交于 $R’$
   • 镜像翻转 $R’$，得到 $2P$

2. 代数公式：

   • 斜率 $\lambda$（求导）： $$\lambda = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} \pmod{p}$$
   • 坐标计算同点加法

标量乘法（$k \cdot P$，核心运算）

标量乘法 = 重复的点加法 / 倍增：

$$k \cdot P = \underbrace{P + P + \cdots + P}_{k次}$$

• 正向易算：已知 $k$ 和 $P$，通过快速倍增法（二进制展开），极快算出 $Q = k \cdot P$

• 逆向极难：已知 $P$ 和 $Q = k \cdot P$，反推整数 $k$ → 这就是椭圆曲线离散对数问题（ECDLP），ECC的安全根基